Robakks Robakks
3251
BLOG

Trójki pitagorejskie

Robakks Robakks Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 5

   Jest w tych kamyczkach jakieś tajemnicze piękno ponadczasowe, co jak syreni śpiew przyciąga umysły badaczy do krainy LOGOS, która jest odwieczna, wieczna, niezmienna, a jedyne co można to badać i dziwować się prostotą - taką samą dla starożytnych, współczesnych jak i przyszłych myślicieli, którzy do niej zawędrują... Także mnie trójki pitagorejskie skusiły, więc zająłem się nimi "po swojemu". )

    Około 1,310 wyników (0,39 s) 

     Wyniki wyszukiwania
  1.  

    Trójki pitagorejskie – Wikipedia, wolna encyklopedia

    pl.wikipedia.org/wiki/Trójki_pitagorejskie
    Jeżeli trójka (a,b,c) jest pitagorejska, to jest nią też (da,db,dc), dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej d. Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c ...
    Ta strona była przez ciebie odwiedzana 3 razy. Ostatnie odwiedziny: 28.09.12
  2. pl.wikipedia.org/wiki/Wielkie_twierdzenie_Fermata
    Późniejsze prace innych matematyków i obliczenia numeryczne pozwoliły udowodnić WTF dla wszystkich n < 1 000 000. [edytuj] Zobacz też. trójki pitagorejskie ...
    Ta strona była przez ciebie odwiedzana 2 razy. Ostatnie odwiedziny: 27.03.12
  3. www.serwis-matematyczny.pl/.../st_artykuly_trojkaty_pit...
    Artykuł matematyczny o trójkątach pitagorejskich. Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi ...
  4. users.v-lo.krakow.pl/~dyrek/podrecznik/.../pitagoras.html
    Trójki pitagorejskie. Jeśli trzy liczby naturalne dodatnie a , b oraz c spełniają warunek: a 2 + b 2 = c 2. wtedy nazywane są trójką pitagorejską. Liczby te mogą ...
  5. [PDF] 

    Trójki pitagorejskie Stwierdzenie, czy dla ustalonej trójki liczb ...

    mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta0307/trojki.pdf
    Format pliku: PDF/Adobe Acrobat - Szybki podgląd
    Trójki pitagorejskie Stwierdzenie, czy dla ustalonej trójki liczb całkowitych dodatnich. (a, b, c) istnieje trójkąt, którego boki mają taką właśnie długość, jest proste.
  6. www.bazywiedzy.com › wzory matematyczne
    Długości boków takich trójkątów nazywane są trójkami pitagorejskimi. Oczywiście trójki pitagorejskie postaci a,b,c spełniają twierdzenie Pitagorasa: a2+b2=c2 ...
  7. www.womkat.edu.pl/.../pitagorejskie_trjki_liczb_jak_ich...
    Praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. Pitagorejskie trójki liczb. Jak ich szukać? Mówimy, że trzy liczby naturalne a, b, c tworzą trójkę pitagorejską...
  8. www.matematyka.pl › ... › Przekształcenia algebraiczne
    Liczba postów: 5 - Liczba autorów: 3 - 4 Lis 2011
    Trójki pitagorejskie z liczbą pierwszą · Teoria liczb, metamatyk, 2. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takich, że iloczyn · Konkursy ...
    Trójki pitagorejskie z liczbą pierwszą • Matematyka.pl‎ - Liczba postów: 3 - 19 Lis 2012
    Wzory dla trójek pitagorejskich • Matematyka.pl‎ - 1 post - 16 Wrz 2012
    Twierdzenie odwrotne od twierdzenia ...‎ - Liczba postów: 13 - 26 Sty 2011
    Trójki Pitagorejskie; • Matematyka.pl‎ - Liczba postów: 7 - 27 Gru 2006

    Więcej wyników z matematyka.pl »

  9. www.zgapa.pl/zgapedia/Trójki_pitagorejskie.html
    Matematyka – Trójka pitagorejska to trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c takie, że::a2 + b2 = c2. Nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, w którym boki ...
  10. www.geogebratube.org/material/show/id/7994
    16 kwi 2012 – You are here: GeoGebraTube › Osobliwe trójki pitagorejskie ... 102 osobliwe (złożone z liczb względnie pierwszych) trójki pitagorejskie ...
 

 

 

 

O co tu chodzi? 

               

Chodzi o budowanie kwadratów z kamyczków.

Każdy kwadrat zawiera tyle samo wierszy 'w' co kolumn 'k', a ilość kamyczków jest wielokrotnością np. siedem wierszy po siedem kamyczków, razem 7*7 co można zapisać jako 7 do kwadratu (72).

W ogólności kwadrat o boku n to n*n kamyczków (en razy en).

Kwadrat jest równocześnie sumą postępu arytmetycznego

n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1)


dygresja:
W geometrii są też kwadraty, których bok nie jest wyrażony liczbą całkowitą np. taki kwadrat, którego bok ma długość (1+ √2) wyróżnia się spośród innych tym, że jeśli podwoić jego powierzchnię to uzyska się kwadrat o boku dłuższym dokładnie o 1, a więc                   dla n=(1+ √2) pole kwadrata n+1 jest dwukrotnie większe. :)
 
S(n+1) = 6+4√2  = 2 Sn        Sn = 3+2√2

 

 

Badając kwadraty ułożone z kamyczków starożytni mędrcy zauważyli, że każdy kwadrat można rozłożyć na dwie części, z których część A jest kwadratem, a część B jest resztą.

O te reszty B chodzi. Z niektórych reszt można ułożyć kwadrat, z niektórych dwa kwadraty itd.

Ciekawostką JEST, że jeśli wszystkie pola (kamyczki) będą przeliczone (np. zbiór liczb naturalnych N)
- to kolumna pierwsza w której występują  kamyczki z numerami n2 będzie stanowić podzbiór całego zbioru N, o mocy (ilość kamyczków) równej √N.
W teori zakłada się, że N=√N=N2, ale to nie jest arytmetyczne. 

W arytmetyce  √N < N < N2.

 

Teoria

Teoria– z gr. theoría- oglądanie, rozważanie.  System  pojęć, definicji  aksjomatów itwierdzeń ustalających  relacje między tymi pojęciami i aksjomatami, tworzący  spójny system pojęciowy opisujący jakąś wybraną fizyczną lub abstrakcyjną dziedzinę.

- http://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria

A więc Teoria to system pojęć tworzących spójny system pojęciowy.

- a z tego - 
Jeśli jakiś system pojęć jest niespójny
-to-
nie jest teorią.
... a kiedy system pojęć nie jest spójny
 
Kompatybilność - (ang. compatibilitypol. zgodność) - oznacza współistnienie w sposób harmonijny
 
System pojęć nie jest spójny gdy
  • słowa mylą desygnaty
  • słowa nie mają desygnatów
  • słowa są niejednoznaczne
 
Desygnatem słowa (słów) może być  
  • rzecz poznawalna zmysłowo
  • konstrukcja myślna oparta na pewnikach

Teoria (logika)

Wlogice matematycznej teorią nazywamy niesprzecznyzbiór zdań.

Jeśli jednak badamy to zagadnienie z punktu widzenia semantyki, a nie syntaktyki, to potrzebujemy twierdzenia o istnieniu modelu, które w 1931 roku udowodnił austriacki logik i matematyk Kurt Gödel. Mówi ono, że każda spójna teoria (tzn. taka w której nie istnieje dowód sprzeczności) ma model i umożliwia badanie własności dowolnej teorii przy użyciu metod teorii modeli.

- http://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_(logika)

W ogólności model = desygnat, a spójność  to zgodność słowa z desygnatem.

 

model

 

     +   kamienie      ===       spójność

   DESYGNAT         +      SŁOWO      =    PRAWDA O RZECZY

 

Mamy więc ten kwadrat C ułożony z n*n kamyczków, wydzielamy z niego kwadrat mniejszy A i pytamy: 

czy z reszty B da się ułożyć kwadrat? 

A = a2    B = b2    C = c2
B = C - A = (c+a)(c-a)

 b =  (c+a)(c-a)

 

odpowiedź:
z reszty B da się ułożyć kwadrat, gdy iloczyn  (c+a)(c-a) =  d2  e2  f2  
przykład 
(c+a) =  d * e2
(c-a) =  d * f2 
b = def 
Gdy kwadrat C udało się przekształcić w dwa kwadraty A i B
- to boki tych trzech kwadratów a,b,c tworzą tematyczną trójkę pitagorejską. :)

 

Zestawy liczb  będących trójkami pitagorejskimi podzielono na dwie grupy w ten sposób, że ze zbioru zawierającego wszystkie trójki pitagorejskie wydzielono te, które nie mają wspólnego podzielnika i te trójki uzyskały nazwę: trójki pitagorejskie pierwotne, a liczby je tworzące mają nazwę "liczby względnie pierwsze" (względem siebie są pierwsze bo nie mają wspólnego podzielnika).

 

 

 

 

 

animacja ze strony  http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

licencja: GNU Licencja Wolnej Dokumentacji

 

Odpowiednikiem arytmetycznych (kamyczkowych) trójek pitagorejskich w GEOMETRII są trójkąty pitagorejskie tworzone na płaszczyźnie Euklidesa według miary długości boków Kartezjusza.

 

Są znane różne sposoby tworzenia trójek pitagorejskich, a najstarsze pochodzą ze starożytności. Znane w Egipcie i Babilonii usystematyzowane przez Euklidesa, Pitagorasa, Platona, Herona, zalgorytmizowane przez ojca algebry Diofantosa - były także obiektem badań nowożytnych myślicieli: Leonarda z Pizy, Fibonacciego, Stifela, Ozanama,  Fermata, Kartezjusza, Dicksona i in.

Jest w tych kamyczkach jakieś tajemnicze piękno ponadczasowe, co jak syreni śpiew przyciąga umysły badaczy do krainy LOGOS, która jest odwieczna, wieczna, niezmienna, a jedyne co można to badać i dziwować się prostotą - taką samą dla starożytnych, współczesnych jak i przyszłych myślicieli, którzy do niej zawędrują... Także mnie trójki pitagorejskie skusiły, więc zająłem się nimi "po swojemu". )

 

     

1
3-4-5
5-12-13
7-24-25
9-40-41
11-60-61
13-84-85
9
15-8-17
21-20-29
27-36-45
33-56-65
39-80-89
45-108-117
25
35-12-37
45-28-53
55-48-73
65-72-97
75-100-125
85-132-157
49
63-16-65
77-36-85
91-60-109
105-88-137
119-120-169
133-156-205
81
99-20-101
117-44-125
135-72-153
153-104-185
171-140-221
189-180-261
121
143-24-145
165-52-173
187-84-205
209-120-241
231-160-281
253-204-325
169
195-28-197
221-60-229
247-96-265
273-136-305
299-180-349
325-228-397
225
255-32-257
285-68-293
315-108-333
345-152-377
375-200-425
405-252-477
289
323-36-325
357-76-365
391-120-409
425-168-457
459-220-509
493-276-565
361
399-40-401
437-84-445
475-132-493
513-184-545
551-240-601
589-300-661
441
483-44-485
525-92-533
567-144-585
609-200-641
651-260-701
693-324-765
529
575-48-577
621-100-629
667-156-685
713-216-745
759-280-809
805-348-877
625
675-52-677
725-108-733
775-168-793
825-232-857
875-300-925
925-372-997
729
783-56-785
837-116-845
891-180-909
945-248-977
999-320-1049
1053-396-1125
841
899-60-901
957-124-965
1015-192-1033
1073-264-1105
1131-340-1181
1189-420-1261
961
1023-64-1025
1085-132-1093
1147-204-1165
1209-280-1241
1271-360-1321
1333-444-1405
1089
1155-68-1157
1221-140-1229
1287-216-1305
1353-296-1385
1419-380-1469
1485-468-1557
1225
1295-72-1297
1365-148-1373
1435-228-1453
1505-312-1537
1575-400-1625
1645-492-1717
1369
1443-76-1445
1517-156-1525
1591-240-1609
1665-328-1697
1739-420-1789
1813-516-1885
1521
1599-80-1601
1677-164-1685
1755-252-1773
1833-344-1865
1911-440-1961
1989-540-2061
1681
1763-84-1765
1845-172-1853
1927-264-1945
2009-360-2041
2091-460-2141
2173-564-2245
1849
1935-88-1937
2021-180-2029
2107-276-2125
2193-376-2225
2279-480-2329
2365-588-2437
2025
2115-92-2117
2205-188-2213
2295-288-2313
2385-392-2417
2475-500-2525
2565-612-2637
2209
2303-96-2305
2397-196-2405
2491-300-2509
2585-408-2617
2679-520-2729
2773-636-2845
2401
2499-100-2501
2597-204-2605
2695-312-2713
2793-424-2825
2891-540-2941
2989-660-3061
2601
2703-104-2705
2805-212-2813
2907-324-2925
3009-440-3041
3111-560-3161
3213-684-3285
2809
2915-108-2917
3021-220-3029
3127-336-3145
3233-456-3265
3339-580-3389
3445-708-3517
3025
3135-112-3137
3245-228-3253
3355-348-3373
3465-472-3497
3575-600-3625
3685-732-3757

 

Pamiętam ile radochy sprawiało mi odkrywanie innych niż 3-4-5 trójek pitagorejskich i tworzenie zestawień. Jako dziecko robiłem to ołówkiem na papierze. Później po latach gdy znów wróciłem do tego zagadnienia - ołówek i papier zastąpił arkusz kalkulacyjny. Mam w komputerze kilka plików w których pełno jest takich tabel j.w. i gdy dziś patrzę na te liczby i cyferki to zastanawiam się: "o co chodziło?".  Wtedy wiedziałem, a w pamięci pozostały jakieś przebłyski, jakaś myśl niedokończona, jakaś wizja... :) Nie podchodziłem oczywiście metodą kamyczkową (arytmetyka, algebra Diofantosa) lecz trygonometryczną, bo tak mnie uczono, że trójki pitagorejskie dotyczą trójkątów prostokątnych, a ta nauka zaczęła się już w wieku przedszkolnym, gdy starszy kolega pokazał mi jak za pomocą sznurka z węzłami wyznaczyć kąt prosty... :-)

A jakie są obwody trójkątów  pitagorejskich? 

12 30 56 90 132 182 240 306 380
40 70 108 154 208 270 340 418 504
84 126 176 234 300 374 456 546 644
144 198 260 330 408 494 588 690 800
220 286 360 442 532 630 736 850 972
312 390 476 570 672 782 900 1026 1160
420 510 608 714 828 950 1080 1218 1364

Są zawsze parzyste

 Są zawsze parzyste

 Są zawsze parzyste

- a więc tylko jedna z liczb tworzących trójkę pitagorejską pierwotną jest parzysta.

.(¯`·..ஜ۩۞۩ஜ..·´¯).

Znalazłem w tych swoich notatkach takie formuły:

liczby x i z są nieparzyste
 
 
liczba x jest parzysta
 
liczba y jest parzysta
 
 
liczby y i z są nieparzyste
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = (2w-1)(2w+2k-1)
 
x =2w(w+2k-1)
y =2k(k+2w-1)
 
y = (2k-1)(2w+2k-1)
z = (2w+k-1)^2 + k^2
 
z = (w+2k-1)^2 + w^2
z-x = 2*k^2
 
z-x = (2k-1)^2
z-y = (2w-1)^2
 
z-y = 2*w^2
w
k
2
 
 
 
w
k
2
 
 
 
nr łańcuszka parzysty
 
 
 
nr łańcuszka nieparzysty
n
a
b
c
c-a
 
n
x
y
z
z-x
1
5
  12
13
8
 
1
8
  15
17
9
1
5
  12
13
 
 
1
8
  15
17
 
2
21
  20
29
 
 
2
20
  21
29
 
3
45
  28
53
 
 
3
36
  27
45
 

Dwa symetryczne wzory do generowania  trzech liczb (a,b,c lub x,y,z) będących polami kwadratów.

Różnica  tylko w parzystości: liczby  b parzyste i liczby x parzyste, ale każda trójka ma swoją reprezentację przy zmianie kolejności np. z pierwszego wzoru dla w=12 k=2, 

621 100 629 

daje podobną trójkę w drugim wzorze 

100 621 629

dla w=2 k=12

 


Mógłbym rozwijać tę myśl, badać te trójki i sprawdzać, co z tego wynika - ale nie będę.

Ta forma demonstracji przemyśleń w postaci notki - nie sprawdziła się. Na ok. 90 notek opublikowanych - w żadnej nie zobaczyłem potwierdzeń, które byłyby pretekstem do kontynuacji i rozwijania wspólnych uzgodnień. 

NON FINITO

ADIEU

Edward Robak* z Nowej Huty

AVE...

 

Robakks
O mnie Robakks

konsekwentny

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie