Szwajcarski geniusz Leonhard Euler (1707 - 1783) żył wiele lat przed Cantorem (1845 - 1918) - nie mógł więc wiedzieć, że są takie zbiory liczbowe, które są liczniejsze od nieskończoności ∞, a więc mające więcej elementów niż zawartych jest w zbiorze liczb naturalnych.
Badając szeregi nieskończone odkrył, że można je względem siebie przegrupować i badać sumy cząstkowe. W ten sposób doszedł do wniosku, który nazwał paradoksalnym, że:
1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4
Rozumowanie było proste:
1 |
s |
= |
1 |
-2 |
+3 |
-4 |
+5 |
-6 |
+7 |
... |
|
-∞ |
|
|
|
|
2 |
s |
= |
|
1 |
-2 |
+3 |
-4 |
+5 |
-6 |
... |
|
∞-1 |
-∞ |
|
|
|
3 |
s |
= |
|
1 |
-2 |
+3 |
-4 |
+5 |
-6 |
... |
|
∞-1 |
-∞ |
|
|
|
4 |
s |
= |
|
|
1 |
-2 |
+3 |
-4 |
+5 |
... |
|
-∞-2 |
∞-1 |
-∞ |
|
|
A |
4s |
= |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
= |
1 |
B |
4s |
= |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
|
0 |
-∞-1 |
-∞ |
= |
-2∞ |
Mając 4 jednakowe szeregi s = 1 - 2 + 3 - 4 ... można je poprzesuwać tak jak w tabeli, a sumy w kolumnach będą zerowe z wyjątkiem jednej kolumny, której suma jest równa 1.
Z tego wyciągnął wniosek, że skoro suma 4 szeregów s jest równa 1, to suma jednego szeregu s jest ćwiartką. Nazwał to paradoksem i przestał się tym zajmować.
A na czym polega błąd tego rozumowania?
Błąd wynika z tego, że ludzie zajmujący się badaniem nieskończoności nie "widzą" ostatnich elementów zbioru.
I to jest dziwne: patrzą - a nie widzą...
Oj niedobrze... :(
Edward Robak* z Nowej Huty ۞ Technik Elektronik :)